數學運算中的排列組合問題

 排列組合問題作為數學運算中相對獨立的一塊，在公務員考試中的出場率頗高，題量一般在一到兩道，近年國考這部分題型的難度逐漸在加大，解題方法也越來越多樣化，所以在掌握了基本方法原理的基礎上，還要求我們熟悉主要解題思想。

【基本原理】

   加法原理：完成一件事,有N種不同的途徑，而每種途徑又有多種可能方法。那么，完成這件事就需要把這些種可能的做法加起來；

   乘法原理： 完成一件事需要n個步驟，每一步分別有m1，m2，…，mn種做法。那么完成這件事就需要:：m1×m2×…×mn種不同方法。

【排列與組合】

     排列：從n個不同元素中，任取m()個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列

     組合：從n個不同元素種取出m（）個元素拼成一組，稱為從n個不同元素取出m個元素的一個組合

【排列和組合的區別】

 組合是從n個不同的元素種選出m個元素,有多少種不同的選法。只是把m個元素選出來,而不考慮選出來的這些元素的順序；而排列不光要選出來,還要把選出來的元素按順序排上,也就是要考慮選出元素的順序。所以從這個角度上說,組合數一定不大于排列數。

【特殊解題方法】

 解決排列組合問題有幾種相對比較特殊的方法:插空法，插板法。以下逐個說明:

 (一).插空法

 這類問題一般具有以下特點：題目中有相對位置不變的元素,不妨稱之為固定元素,也有相對位置有變化的元素,稱之為活動元素,而要求我們做的就是把這些活動元素插到固定元素形成的空中。舉例說明:

 例題1 一張節目表上原有3個節目，如果保持這3個節目的相對順序不變，再添進去2個新節目，有多少種安排方法？                             (2008國家行測)

A.20    B.12    C.6    D.4

     解法1：這里的“固定元素”有3個，“活動元素”有兩個，但需要注意的是,活動元素本身的順序問題，在此題中：

 1).當兩個新節目挨著的時候：把這兩個挨著的新節目看成一個(相當于把它們捆在一起,注意:捆在一起的這兩個節目本身也有順序)放到“固定元素”形成的空中，有:C41×2=8 種方法。

  2).當兩個節目不挨著的時候：此時變成一個排列問題,即從四個空中任意選出兩個按順序放兩個不同的節目,有：P42=12種方法。

 綜上所述，共有12+8=20種。

 解法2：分部解決。1）可以先插入一個節目，有4種辦法；

                   2）然后再插入另一個節目，這時第一次插入的節目也變成“固定元素”故共有5個空可供選擇；

   應用乘法原理：4×5=20種

例題2. 小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有16級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

 A.54          B.64         C.57           D.37

解法一：列表解題，第四個數=第一個數＋第二個數。

臺階 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

走法 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37

解法二：插空法解題:考慮走3級臺階的次數：

1）有0次走3級臺階（即全走2級），那么有1種走法；

2）有1次走三級臺階。（不可能完成任務）；

3）有兩次走3級臺階，則有5次走2級臺階：

 (a)兩次三級臺階挨著時：相當于把這兩個挨著的三級臺階放到5個兩級臺階形成的空中，有C61=6種走法；

 (b)兩次三級不挨著時：相當于把這兩個不挨著的三級臺階放到5個兩級臺階形成的空中，有C62=15種走法。

4）有3次（不可能）

5）有4次走3級臺階，則有2次走兩級臺階，互換角色，想成把兩個2級臺階放到3級臺階形成得空中，同（3）考慮挨著和不挨著兩種情況有C51+C52=15種走法；

6）有5次（不可能）

故總共有：1+6+15+15=37種。

(二). 插板法:

 一般解決相同元素分配問題，而且對被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只對分成的份數有要求。

舉例說明:

例題1.  把20臺電腦分給18個村,要求每村至少分一臺,共有多少種分配方法?

     解析: 此題的想法即是插板思想:在20電腦內部所形成的19個空中任意插入17個板,這樣即把其分成18份,那么共有: C1917=C192=171 種。

 Eg2。有10片藥，每天至少吃1粒，直到吃完，共有多少種不同吃法？

  解法1：1天吃完：有C90=1種；

        2天吃完：有C91=9種；

        ……

        10天吃完：有C99=1種；

故共有：C90+C91+…+C99=（1+1）9=512種。

  解法2：10臺電腦內部9個空，每個孔都可以選擇插板或者不插板，即每個孔有兩種選擇，共有9個空，共有29=512種。

這里只討論了排列組合中相對比較特殊的兩種方法，至于其它問題可參見中公網的其它書籍，這里不再贅述。

【排列組合在其他題型中的應用】                                                  

例題．學校準備了1152塊正方形彩板，用它們拼成一個長方形，有多少種不同的拼法？

 A.52          B.36          C.28           D.12

解法一：本題實際上是想把1152分解成兩個數的積，則1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有12種不同的拼法。

解法二：（用排列組合知識求解）

由1152=27×32，那么現在我們要做的就是把這7個2和2個3分成兩部分，當分配好時，那么長方形的長和寬也就固定了。

 具體地： 1）當2個3在一起的時候，有8種分配方法（從后面有0個2一直到7個2）； 2）當兩個3不在一起時，有4種分配方法，分別是一個3后有0，1，2，3個2。故共有8+4=12種。

解法三：若1152=27×32，那么1152的所有乘積為1152因數的個數為（7+1）×（2+1）=24個，每兩個一組，故共有24÷2=12組。

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