適用形式：

兩個(gè)分?jǐn)?shù)作比較時(shí)，若其中一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母都比另外一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母分別僅僅大一點(diǎn)，這時(shí)候使用“直除法”、“化同法”經(jīng)常很難比較出大小關(guān)系，而使用“差分法”卻可以很好地解決這樣的問(wèn)題。

基礎(chǔ)定義：

在滿足“適用形式”的兩個(gè)分?jǐn)?shù)中，我們定義分子與分母都比較大的分?jǐn)?shù)叫“大分?jǐn)?shù)”，分子與分母都比較小的分?jǐn)?shù)叫“小分?jǐn)?shù)”，而這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母分別做差得到的新的分?jǐn)?shù)我們定義為“差分?jǐn)?shù)”。例如：324/53.1與313/51.7比較大小，其中324/53.1就是“大分?jǐn)?shù)”，313/51.7就是“小分?jǐn)?shù)”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分?jǐn)?shù)”。

“差分法”使用基本準(zhǔn)則——

“差分?jǐn)?shù)”代替“大分?jǐn)?shù)”與“小分?jǐn)?shù)”作比較：

1、若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大；

2、若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)小，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)小；

3、若差分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等，則大分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等。

比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1與313/51.7作比較”，因?yàn)?1/1.4＞313/51.7（可以通過(guò)“直除法”或者“化同法”簡(jiǎn)單得到），所以324/53.1＞313/51.7。

特別注意：

一、“差分法”本身是一種“精算法”而非“估算法”，得出來(lái)的大小關(guān)系是精確的關(guān)系而非粗略的關(guān)系；

二、“差分法”與“化同法”經(jīng)常聯(lián)系在一起使用，“化同法緊接差分法”與“差分法緊接化同法”是資料分析速算當(dāng)中經(jīng)常遇到的兩種情形。

三、“差分法”得到“差分?jǐn)?shù)”與“小分?jǐn)?shù)”做比較的時(shí)候，還經(jīng)常需要用到“直除法”。

四、如果兩個(gè)分?jǐn)?shù)相隔非常近，我們甚至需要反復(fù)運(yùn)用兩次“差分法”，這種情況相對(duì)比較復(fù)雜，但如果運(yùn)用熟練，同樣可以大幅度簡(jiǎn)化計(jì)算。

【例1】比較7/4和9/5的大小

【解析】運(yùn)用“差分法”來(lái)比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系：

大分?jǐn)?shù) 小分?jǐn)?shù)

9/5 7/4

9－7/5－1=2/1(差分?jǐn)?shù))

根據(jù)：差分?jǐn)?shù)=2/1＞7/4=小分?jǐn)?shù)

因此：大分?jǐn)?shù)=9/5＞7/4=小分?jǐn)?shù)

提示：

使用“差分法”的時(shí)候，牢記將“差分?jǐn)?shù)”寫(xiě)在“大分?jǐn)?shù)”的一側(cè)，因?yàn)樗�代替的�?ldquo;大分?jǐn)?shù)”，然后再跟“小分?jǐn)?shù)”做比較。

【例2】比較32.3/101和32.6/103的大小

【解析】運(yùn)用“差分法”來(lái)比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系：

小分?jǐn)?shù) 大分?jǐn)?shù)

32.3/101 32.6/103

32.6－32.3/103－101=0.3/2(差分?jǐn)?shù))

根據(jù)：差分?jǐn)?shù)=0.3/2=30/200＜32.3/101=小分?jǐn)?shù)（此處運(yùn)用了“化同法”）

因此：大分?jǐn)?shù)=32.6/103＜32.3/101=小分?jǐn)?shù)

［注釋?zhuān)?本題比較差分?jǐn)?shù)和小分?jǐn)?shù)大小時(shí)，還可采用直除法，讀者不妨自己試試。

提示（“差分法”原理）：

以例2為例，我們來(lái)闡述一下“差分法”到底是怎樣一種原理，先看下文：

 

一個(gè)簡(jiǎn)單的過(guò)程：將Ⅱ號(hào)溶液倒入Ⅰ號(hào)溶液當(dāng)中，變成Ⅲ號(hào)溶液。其中Ⅰ號(hào)溶液的濃度為“小分?jǐn)?shù)”，Ⅲ號(hào)溶液的濃度為“大分?jǐn)?shù)”，而Ⅱ號(hào)溶液的濃度為“差分?jǐn)?shù)”。顯然，要比較Ⅰ號(hào)溶液與Ⅲ號(hào)溶液的濃度哪個(gè)大，只需要知道這個(gè)倒入的過(guò)程是“稀釋”還是“變濃”了，所以只需要比較Ⅱ號(hào)溶液與Ⅰ號(hào)溶液的濃度哪個(gè)大即可。

【例3】比較29320.04/4126.37和29318.59/4125.16的大小

【解析】運(yùn)用“差分法”來(lái)比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系：

29320.04/4126.37 29318.59/4125.16

1.45/1.21

根據(jù)：很明顯，差分?jǐn)?shù)=1.45/1.21＜2＜29318.59/4125.16=小分?jǐn)?shù)

因此：大分?jǐn)?shù)=29320.04/4126.37＜29318.59/4125.16=小分?jǐn)?shù)

［注釋?zhuān)?本題比較差分?jǐn)?shù)和小分?jǐn)?shù)大小時(shí)，還可以采用“直除法”（本質(zhì)上與插一個(gè)“2”是等價(jià)的）。

【例4】下表顯示了三個(gè)省份的省會(huì)城市（分別為A、B、C城）2006年GDP及其增長(zhǎng)情況，請(qǐng)根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)回答：

1.B、C兩城2005年GDP哪個(gè)更高？

2.A、C兩城所在的省份2006年GDP量哪個(gè)更高？

	GDP（億元）	GDP增長(zhǎng)率	占全省的比例
A城	873.2	12.50%	23.9%
B城	984.3	7.8%	35.9%
C城	1093.4	17.9%	31.2%

【解析】一、B、C兩城2005年的GDP分別為：984.3/1＋7.8%、1093.4/1＋17.9%；觀察特征（分子與分母都相差一點(diǎn)點(diǎn)）我們使用“差分法”：

984.3/1＋7.8% 1093.4/1＋17.9%

109.1/10.1%

運(yùn)用直除法，很明顯：差分?jǐn)?shù)＝109.1/10.1%＞1000＞984.3/1＋7.8%＝小分?jǐn)?shù)，故大分?jǐn)?shù)＞小分?jǐn)?shù)

所以B、C兩城2005年GDP量C城更高。

二、A、C兩城所在的省份2006年GDP量分別為：873.2/23.9%、1093.4/31.2%；同樣我們使用“差分法”進(jìn)行比較：

　　　　　　　　873.2/23.9% 1093.4/31.2%

220.2/7.3%=660.6/21.9%

　　　　　　212.6/2%=2126/20%

上述過(guò)程我們運(yùn)用了兩次“差分法”，很明顯：2126/20%＞660.6/21.9%，所以873.2/23.9%＞1093.4/31.2%；

因此2006年A城所在的省份GDP量更高。

【例5】比較32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小

【解析】32053.3與32048.2很相近，23487.1與23489.1也很相近，因此使用估算法或者截位法進(jìn)行比較的時(shí)候，誤差可能會(huì)比較大，因此我們可以考慮先變形，再使用“差分法”，即要比較32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小，我們首先比較32053.3/23489.1和32048.2/23487.1的大小關(guān)系：

32053.3/23489.1 32048.2/23487.1

5.1/2

根據(jù)：差分?jǐn)?shù)=5.1/2＞2＞32048.2/23487.1=小分?jǐn)?shù)

因此：大分?jǐn)?shù)=32053.3/23489.1＞32048.2/23487.1=小分?jǐn)?shù)

變型：32053.3×23487.1＞32048.2×23489.1

提示（乘法型“差分法”）：

要比較a×b與a′×b′的大小，如果ａ與ａ＇相差很小，并且ｂ與ｂ＇相差也很小，這時(shí)候可以將乘法a×b與a′×b′的比較轉(zhuǎn)化為除法ab′與a′b的比較，這時(shí)候便可以運(yùn)用“差分法”來(lái)解決我們類(lèi)似的乘法型問(wèn)題。我們?cè)?ldquo;化除為乘”的時(shí)候，遵循以下原則可以保證不等號(hào)方向的不變：

“化除為乘”原則：相乘即交叉。

 

 

 

 

★【速算技巧二：直除法】

 

 

 

 

專(zhuān)家提示：

      “直除法”是指在比較或者計(jì)算較復(fù)雜分?jǐn)?shù)時(shí)，通過(guò)“直接相除”的方式得到商的首位（首一位或首兩位），從而得出正確答案的速算方式。“直除法”在資料分析的速算當(dāng)中有非常廣泛的用途，并且由于其“方式簡(jiǎn)單”而具有“極易操作”性。

      “直除法”從題型上一般包括兩種形式：

      一、比較多個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，在量級(jí)相當(dāng)?shù)那闆r下，首位最大/小的數(shù)為最大/小數(shù)；

      二、計(jì)算一個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，在選項(xiàng)首位不同的情況下，通過(guò)計(jì)算首位便可選出正確答案。

      “直除法”從難度深淺上來(lái)講一般分為三種梯度：

        一、簡(jiǎn)單直接能看出商的首位；

        二、通過(guò)動(dòng)手計(jì)算能看出商的首位；

       三、某些比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)，需要計(jì)算分?jǐn)?shù)的“倒數(shù)”的首位來(lái)判定答案。

 

 

【例1】 中最大的數(shù)是（    ）。

 

【解析】直接相除：＝30^＋，＝30^-，＝30^-，＝30^-，

明顯738.9/22.03為四個(gè)數(shù)當(dāng)中最大的數(shù)。

 

　　【例2】324094103、328954701、239553413、128941831中最小的數(shù)是（    ）。

    【解析】

　　32409/4103、23955/3413、12894/1831都比7大，而32895/4701比7小，

　　因此四個(gè)數(shù)當(dāng)中最小的數(shù)是32895/4701。

　　專(zhuān)家提示：

　　即使在使用速算技巧的情況下，少量卻有必要的動(dòng)手計(jì)算還是不可避免的。

【例3】6874.32/760.31、3052.18/341.02、4013.98/447.13、2304.83/259.74中最大的數(shù)是（    ）。

　　【解析】

　　只有6874.32/760.31比9大，所以四個(gè)數(shù)當(dāng)中最大的數(shù)是6874.32/760.31。

【例4】5794.1/27591.43、3482.2/15130.87、4988.7/20788.33、6881.3/26458.46中最大的數(shù)是（    ）。

【解析】本題直接用“直除法”很難直接看出結(jié)果，我們考慮這四個(gè)數(shù)的倒數(shù)：

27591.43/5794.1、15130.87/3482.2、20788.33/4988.7、26458.46/6881.3，

利用直除法，它們的首位分別為“4”、“4”、“4”、“3”，

所以四個(gè)倒數(shù)當(dāng)中26458.46/6881.3最小，因此原來(lái)四個(gè)數(shù)當(dāng)中6881.3/26458.46最大。

 

 

【例5】閱讀下面餅狀圖，請(qǐng)問(wèn)該季度第一車(chē)間比第二車(chē)間多生產(chǎn)多少？（    ）

 

A.38.5％               B.42.8%                C.50.1%                D.63.4%

【解析】5632-3945/3945=1687/3945=0.4^＋=40%⁺，所以選B。

【例6】某地區(qū)去年外貿(mào)出口額各季度統(tǒng)計(jì)如下，請(qǐng)問(wèn)第二季度出口額占全年的比例為多少？（    ）

　　A.29.5％               B.32.4%                C.33.7%                D.34.6%

　　【解析】5698/17608＝0.3^＋=30%⁺，其倒數(shù)17608/5698＝3⁺，所以5698/17608＝(1/3)^-，所以選B。

	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度	全年
出口額（億元）	4573	5698	3495	3842	17608

【例7】根據(jù)下圖資料，己村的糧食總產(chǎn)量為戊村糧食總產(chǎn)量的多少倍？（    ）

 

A.2.34                   B.1.76                   C.1.57                   D.1.32

【解析】直接通過(guò)直除法計(jì)算516.1÷328.7：

                             

根據(jù)首兩位為1.5*得到正確答案為C。