公務員考試數學運算題型：比例問題
比例問題是公務員考試必考題型，也是數學運算中最重要的題型：
解決好比例問題，關鍵要從兩點入手：第一，“和誰比”；第二，“增加或下降多少”。
【例1 】 b比a增加了20%，則b是a的多少? a又是b的多少呢?
【解析】可根據方程的思想列式得 a×(1+20%)=b，所以b是a的1.2倍。
A/b=1/1.2=5/6，所以a 是b的5/6。
【例2】 養魚塘里養了一批魚，第一次捕上來200尾，做好標記后放回魚塘，數日后再捕上100尾，發現有標記的魚為5尾，問魚塘里大約有多少尾魚?
A.200 B.4000 C.5000 D.6000 (2004年中央B類真題)
解析：方程法：可設魚塘有X尾魚，則可列方程，100/5=X/200，解得X=4000，選擇B。
【例3 】 2001年，某公司所銷售的計算機臺數比上一年度上升了20%，而每臺的價格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計算機銷售額為3000萬元，那么2000年的計算機銷售額大約是多少?
A.2900萬元 B.3000萬元 C.3100萬元 D.3300萬元(2003年中央A類真題)
【解析】方程法：可設2000年時，銷售的計算機臺數為X，每臺的價格為Y，顯然由題意可知，2001年的計算機的銷售額=X(1+20%)Y(1-20%)，也即3000萬=0.96XY，顯然XY≈3100。答案為C。
特殊方法：對一商品價格而言，如果上漲X后又下降X，求此時的商品價格原價的多少?或者下降X再上漲X，求此時的商品價格原價的多少?只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運用簡化公式，1-X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時則不可運用簡化公式，需要一步一步來。對于此題而言，計算機臺數比上一年度上升了20%，每臺的價格比上一年度下降了20%，因為銷售額=銷售臺數×每臺銷售價格，所以根據乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1-(20%) =0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100。
【例4 】 生產出來的一批襯衫中大號和小號各占一半。其中25%是白色的，75%是藍色的。如果這批襯衫總共有100件，其中大號白色襯衫有10件，問小號藍色襯衫有多少件?
A.15 B.25 C.35 D.40 (2003年中央A類真題)
【解析】這是一道涉及容斥關系(本書后面會有專題講解)的比例問題。
根據已知 大號白=10件，因為大號共50件，所以，大號藍=40件;
大號藍=40件，因為藍色共75件，所以，小號藍=35件;
此題可以用另一思路進行解析(多進行這樣的思維訓練，有助于提升解題能力)
大號白=10件，因為白色共25件，所以，小號白=15件;
小號白=15件，因為小號共50件，所以，小號藍=35件;
所以，答案為C。
【例5】 某企業發獎金是根據利潤提成的，利潤低于或等于10萬元時可提成10%;低于或等于20萬元時，高于10萬元的部分按7.5%提成;高于20萬元時，高于20萬元的部分按5%提成。當利潤為40萬元時，應發放獎金多少萬元?
A.2 B.2.75 C.3 D.4.5 (2003年中央A類真題)
【解析】這是一個種需要讀懂內容的題型。根據要求進行列式即可。
獎金應為 10×10%+(20-10)×7.5%+(40-20)×5%=2.75
所以，答案為B。
【例6】 某校在原有基礎(學生700人，教師300人)上擴大規模，現新增加教師75人。為使學生和教師比例低于2：1，問學生人數最多能增加百分之幾?
A.7% B.8% C.10.3% D.115% (2003年中央A類真題)
【解析】根據題意，新增加教師75人，則學生最多可達到(300+75)×2=750人，學生人數增加的比列則為 (750-700)÷700≈7.1%
所以，選擇A。
【例7】 某企業去年的銷售收入為1000萬元，成本分生產成本500萬元和廣告費200萬元兩個部分。若年利潤必須按P%納稅，年廣告費超出年銷售收入2%的部分也必須按P%納稅，其它不納稅，且已知該企業去年共納稅120萬元，則稅率P%為
A.40% B.25% C.12% D.10% (2004年江蘇真題)
【解析】選用方程法。根據題意列式如下：
(1000-500-200)×P%+(200-1000×2%)×P%=120
即 480×P%=120
P%=25%
所以，答案為B。
【例8】 甲、乙兩盒共有棋子108顆，先從甲盒中取出 放人乙盒，再從乙盒取出 放回甲盒，這時兩盒的棋子數相等，問甲盒原有棋子多少顆?
A.40顆 B.48顆
C.52顆 D.60顆 (2004年浙江真題)
【解析】 此題可用方程法，設甲盒有X顆，乙盒有Y顆，則列方程組如下，參見輔助資料。此題運用直接代入法或逆推法更快捷。答案為B
【例 9 】甲乙兩名工人8小時共加736個零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，問乙每小時加工多少個零件?
A.30個 B.35個 C.40個 D.45個 (2002年A類真題)
【解析】選用方程法。設乙每小時加工X個零件，則甲每小時加工1.3X個零件，并可列方程如下：
(1+1.3X)×8=736
X=40
所以，選擇C。
【例 10】已知甲的12%為13，乙的13%為14，丙的14%為15，丁的15%為16，則甲、乙、丙、丁4個數中最大的數是：
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (2001年中央真題)
【解析】顯然甲=13/12%;乙=14/13%;丙=15/14%;丁=16/15%，顯然最大與最小就在甲、乙之間，所以比較甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%>1，
所以，甲>乙>丙>丁，選擇A。
【例11】某單位召開一次會議，會期10天。后來由于議程增加，會期延長3天，費用超過了預算，僅食宿費一項就超過預算20%，用了6000元。已知食宿費用預算占總預算的25%，那么，總預算費用是：
A.18000元 B.20000元 C.25000元 D.30000元 (2001年中央真題)
【解析】設總預算為X，則可列議程為，
25%X=6000÷(1+20%)，解得X=20000
所以，答案為B。
【例12】 一種收錄機，連續兩次降價10%后的售價是405元，那么原價是：
A.490元 B.500元 C.520元 D.560元 (2001年中央真題)
【解析】連續漲(降)價相同幅度的基本公式如下：
a =c a表示漲(降)價前的價格;b表示漲(降)價的百分比;c表示漲(降)價后的價格;n連續漲(降)價的年數。
如果設原價為X，那么由以上公式可列如下方程：
X =405，解得X=500
所以，答案為B。此題可以選擇代入法快速得到答案。
【例13】某企業1999年產值的20%相當于1998年產值的25%，那么，1999年的產值與1998年相比：
A.降低了5% B.提高了5% C.提高了20% D.提高了25%(2001年中央真題)
【解析】此題可采用直接作比的方法。設1998年的產值為a，1999年的產值為b，則根據題意事列方程，a25%=b20%，則1999年的產值與1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的產值比1998年提高了25%。
所以，答案為D。
【例14】 某人用4410元買了一臺電腦，其價格是原來定價相繼折扣了10%和2%后的價格，則電腦原來定價是
A.4950元 B.4990元 C.5000元 D.5010元 (2000年中央真題)
【解析】采用方程法即可，設電腦原來定價是X，則可列方程為
X×(1-10%)×(1-2%)=4410，解得X=5000。
所以，正確答案為C。
注，此題不能用例11的基本公式，因為降價幅度不同。
【例15】某機關共有干部、職工350人，其中55歲以上共有70人�，F擬進行機構改革，總體規模壓縮為180人，并規定55歲以上的人裁減比例為70%。請問55歲以下的人裁減比例約是多少?
A.51% B.43% C.40% D.34% (2000年中央真題)
解析：設55歲以下的人裁減比例為X，則可列方程為：
70×(1-70%)+(350-70)×(1-X)=180
解得X≈43%
所以，正確答案為B。
【例16】某儲戶于1999年1月1 日存人銀行60000元，年利率為2.00%，存款到期日即2000年1月1 日將存款全部取出，國家規定凡1999年11月1日后孳生的利息收入應繳納利息稅，稅率為20%，則該儲戶實際提取本金合計為
A.61 200元 B.61 160元 C.61 000元 D.60 040元
【解析】如不考慮利息稅，則1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息為60000×2%=1200，也即100元/月，但實際上從1999年11月1日后要收20%利息稅，也即只有2個月的利息收入要交稅，稅額=200×20%=40元
所以，提取總額為60000+1200-40=61160，正確答案為B。1/1.2=5/6。再比如，一件商品的價格為a元，第一次調價時上漲了50%，第二次調價時又下降了80%，問現在的價格是調價前的多少?(30%)像這樣的反復變化的比例關系并無難點，關鍵是一定要弄清楚和誰比增加或者下降，現在是多少，以上題為例，商品的價格為a元，第一次調價時上漲了50%，則此時商品的價格為1.5a元，第二次調價時又下降了80%，則此時的價格為1.5a×(1-80%)=0.3a元。
【例17】 甲、乙、丙三人買書共花費96元錢，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，則甲、乙、丙三人花的錢的比是( )。(2002年B類真題)
A.3：5：4 B.4：5：6 C.2：3：4 D.3：4：5
【解析】我們通常采用方程法，即設甲的花費為X元，則3X+16+8=96，則X=24，盡而可算出比例關系為3：4：5即為選項D。這里請注意，我們在進行數學運算的答題時應盡量避免采用方程法，應將這一方程運算過程用習慣性思維替代，具體思維過程如下，用96-16-8=72，所得到就應該是3倍甲的花費，由此得到甲的花費是24元。
【例18】 2001年，某公司所銷售的計算機臺數比上一年度上升了20%，而每臺的價格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計算機銷售額為3000萬元，那么2000年的計算機銷售額大約是多少 ( ) ?
A.2900萬元 B.3000萬元 C.3100萬元 D.3300萬元
【解析】對一商品價格而言，如果上漲X后又下降X，求此時的商品價格原價的多少?或者下降X再上漲X，求此時的商品價格原價的多少?只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運用簡化公式，1-X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時則不可運用簡化公式，需要一步一步來。對于此題而言，計算機臺數比上一年度上升了20%，每臺的價格比上一年度下降了20%，因為銷售額=銷售臺數×每臺銷售價格，所以根據乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1-(20%) =0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100，所以選擇C。
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【例1 】 b比a增加了20%，則b是a的多少? a又是b的多少呢?
【解析】可根據方程的思想列式得 a×(1+20%)=b，所以b是a的1.2倍。
A/b=1/1.2=5/6，所以a 是b的5/6。
【例2】 養魚塘里養了一批魚，第一次捕上來200尾，做好標記后放回魚塘，數日后再捕上100尾，發現有標記的魚為5尾，問魚塘里大約有多少尾魚?
A.200 B.4000 C.5000 D.6000 (2004年中央B類真題)
解析：方程法：可設魚塘有X尾魚，則可列方程，100/5=X/200，解得X=4000，選擇B。
【例3 】 2001年，某公司所銷售的計算機臺數比上一年度上升了20%，而每臺的價格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計算機銷售額為3000萬元，那么2000年的計算機銷售額大約是多少?
A.2900萬元 B.3000萬元 C.3100萬元 D.3300萬元(2003年中央A類真題)
【解析】方程法：可設2000年時，銷售的計算機臺數為X，每臺的價格為Y，顯然由題意可知，2001年的計算機的銷售額=X(1+20%)Y(1-20%)，也即3000萬=0.96XY，顯然XY≈3100。答案為C。
特殊方法：對一商品價格而言，如果上漲X后又下降X，求此時的商品價格原價的多少?或者下降X再上漲X，求此時的商品價格原價的多少?只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運用簡化公式，1-X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時則不可運用簡化公式，需要一步一步來。對于此題而言，計算機臺數比上一年度上升了20%，每臺的價格比上一年度下降了20%，因為銷售額=銷售臺數×每臺銷售價格，所以根據乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1-(20%) =0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100。
【例4 】 生產出來的一批襯衫中大號和小號各占一半。其中25%是白色的，75%是藍色的。如果這批襯衫總共有100件，其中大號白色襯衫有10件，問小號藍色襯衫有多少件?
A.15 B.25 C.35 D.40 (2003年中央A類真題)
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根據已知 大號白=10件，因為大號共50件，所以，大號藍=40件;
大號藍=40件，因為藍色共75件，所以，小號藍=35件;
此題可以用另一思路進行解析(多進行這樣的思維訓練，有助于提升解題能力)
大號白=10件，因為白色共25件，所以，小號白=15件;
小號白=15件，因為小號共50件，所以，小號藍=35件;
所以，答案為C。
【例5】 某企業發獎金是根據利潤提成的，利潤低于或等于10萬元時可提成10%;低于或等于20萬元時，高于10萬元的部分按7.5%提成;高于20萬元時，高于20萬元的部分按5%提成。當利潤為40萬元時，應發放獎金多少萬元?
A.2 B.2.75 C.3 D.4.5 (2003年中央A類真題)
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獎金應為 10×10%+(20-10)×7.5%+(40-20)×5%=2.75
所以，答案為B。
【例6】 某校在原有基礎(學生700人，教師300人)上擴大規模，現新增加教師75人。為使學生和教師比例低于2：1，問學生人數最多能增加百分之幾?
A.7% B.8% C.10.3% D.115% (2003年中央A類真題)
【解析】根據題意，新增加教師75人，則學生最多可達到(300+75)×2=750人，學生人數增加的比列則為 (750-700)÷700≈7.1%
所以，選擇A。
【例7】 某企業去年的銷售收入為1000萬元，成本分生產成本500萬元和廣告費200萬元兩個部分。若年利潤必須按P%納稅，年廣告費超出年銷售收入2%的部分也必須按P%納稅，其它不納稅，且已知該企業去年共納稅120萬元，則稅率P%為
A.40% B.25% C.12% D.10% (2004年江蘇真題)
【解析】選用方程法。根據題意列式如下：
(1000-500-200)×P%+(200-1000×2%)×P%=120
即 480×P%=120
P%=25%
所以，答案為B。
【例8】 甲、乙兩盒共有棋子108顆，先從甲盒中取出 放人乙盒，再從乙盒取出 放回甲盒，這時兩盒的棋子數相等，問甲盒原有棋子多少顆?
A.40顆 B.48顆
C.52顆 D.60顆 (2004年浙江真題)
【解析】 此題可用方程法，設甲盒有X顆，乙盒有Y顆，則列方程組如下，參見輔助資料。此題運用直接代入法或逆推法更快捷。答案為B
【例 9 】甲乙兩名工人8小時共加736個零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，問乙每小時加工多少個零件?
A.30個 B.35個 C.40個 D.45個 (2002年A類真題)
【解析】選用方程法。設乙每小時加工X個零件，則甲每小時加工1.3X個零件，并可列方程如下：
(1+1.3X)×8=736
X=40
所以，選擇C。
【例 10】已知甲的12%為13，乙的13%為14，丙的14%為15，丁的15%為16，則甲、乙、丙、丁4個數中最大的數是：
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (2001年中央真題)
【解析】顯然甲=13/12%;乙=14/13%;丙=15/14%;丁=16/15%，顯然最大與最小就在甲、乙之間，所以比較甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%>1，
所以，甲>乙>丙>丁，選擇A。
【例11】某單位召開一次會議，會期10天。后來由于議程增加，會期延長3天，費用超過了預算，僅食宿費一項就超過預算20%，用了6000元。已知食宿費用預算占總預算的25%，那么，總預算費用是：
A.18000元 B.20000元 C.25000元 D.30000元 (2001年中央真題)
【解析】設總預算為X，則可列議程為，
25%X=6000÷(1+20%)，解得X=20000
所以，答案為B。
【例12】 一種收錄機，連續兩次降價10%后的售價是405元，那么原價是：
A.490元 B.500元 C.520元 D.560元 (2001年中央真題)
【解析】連續漲(降)價相同幅度的基本公式如下：
a =c a表示漲(降)價前的價格;b表示漲(降)價的百分比;c表示漲(降)價后的價格;n連續漲(降)價的年數。
如果設原價為X，那么由以上公式可列如下方程：
X =405，解得X=500
所以，答案為B。此題可以選擇代入法快速得到答案。
【例13】某企業1999年產值的20%相當于1998年產值的25%，那么，1999年的產值與1998年相比：
A.降低了5% B.提高了5% C.提高了20% D.提高了25%(2001年中央真題)
【解析】此題可采用直接作比的方法。設1998年的產值為a，1999年的產值為b，則根據題意事列方程，a25%=b20%，則1999年的產值與1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的產值比1998年提高了25%。
所以，答案為D。
【例14】 某人用4410元買了一臺電腦，其價格是原來定價相繼折扣了10%和2%后的價格，則電腦原來定價是
A.4950元 B.4990元 C.5000元 D.5010元 (2000年中央真題)
【解析】采用方程法即可，設電腦原來定價是X，則可列方程為
X×(1-10%)×(1-2%)=4410，解得X=5000。
所以，正確答案為C。
注，此題不能用例11的基本公式，因為降價幅度不同。
【例15】某機關共有干部、職工350人，其中55歲以上共有70人�，F擬進行機構改革，總體規模壓縮為180人，并規定55歲以上的人裁減比例為70%。請問55歲以下的人裁減比例約是多少?
A.51% B.43% C.40% D.34% (2000年中央真題)
解析：設55歲以下的人裁減比例為X，則可列方程為：
70×(1-70%)+(350-70)×(1-X)=180
解得X≈43%
所以，正確答案為B。
【例16】某儲戶于1999年1月1 日存人銀行60000元，年利率為2.00%，存款到期日即2000年1月1 日將存款全部取出，國家規定凡1999年11月1日后孳生的利息收入應繳納利息稅，稅率為20%，則該儲戶實際提取本金合計為
A.61 200元 B.61 160元 C.61 000元 D.60 040元
【解析】如不考慮利息稅，則1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息為60000×2%=1200，也即100元/月，但實際上從1999年11月1日后要收20%利息稅，也即只有2個月的利息收入要交稅，稅額=200×20%=40元
所以，提取總額為60000+1200-40=61160，正確答案為B。1/1.2=5/6。再比如，一件商品的價格為a元，第一次調價時上漲了50%，第二次調價時又下降了80%，問現在的價格是調價前的多少?(30%)像這樣的反復變化的比例關系并無難點，關鍵是一定要弄清楚和誰比增加或者下降，現在是多少，以上題為例，商品的價格為a元，第一次調價時上漲了50%，則此時商品的價格為1.5a元，第二次調價時又下降了80%，則此時的價格為1.5a×(1-80%)=0.3a元。
【例17】 甲、乙、丙三人買書共花費96元錢，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，則甲、乙、丙三人花的錢的比是( )。(2002年B類真題)
A.3：5：4 B.4：5：6 C.2：3：4 D.3：4：5
【解析】我們通常采用方程法，即設甲的花費為X元，則3X+16+8=96，則X=24，盡而可算出比例關系為3：4：5即為選項D。這里請注意，我們在進行數學運算的答題時應盡量避免采用方程法，應將這一方程運算過程用習慣性思維替代，具體思維過程如下，用96-16-8=72，所得到就應該是3倍甲的花費，由此得到甲的花費是24元。
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A.2900萬元 B.3000萬元 C.3100萬元 D.3300萬元
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