質合數與公約數公倍數的故事
質數與合數在實際求解過程中，不止可以求解經典題型：(1)求一個數的正約數的個數;(2)約數的分組問題。在行測考試中，還有這樣一類題目，需要求解若干個數的公約數和公倍數。
首先，讓我們先來了解一下約數和倍數：一個自然數A能被自然數B整除且B不為0，我們就稱A是B的倍數，B是A的約數。
那么，什么是公約數和公倍數呢?一個數M同時是若干個數的約數，則M就是這幾個數的公約數;一個數N同時是若干個數的倍數，則N就是這幾個數的公倍數。
根據約數B最大不會超過A，可知，公約數M在有限條件內有最大值，稱為最大公約數;同時，倍數A最小不小于B，則公倍數N有滿足條件的最小值，成為最小公倍數。
其次，如何求解最大公約數和最小公倍數，方法：短除法。如下圖：
最大公約數=2×2×3=12;最小公倍數=2×2×3×2×3=72。
【總結】
求解原則：最大公約數為幾個數共有的約數的乘積;最小公倍數為幾個數共有的約數與自身剩余的質數的乘積，若為三個數及以上，則需保證自身剩余的質數兩兩互質(即除1以外再無共同的約數)。
最大公約數=3(三者共有的約數);最小公倍數=3×2×2×3×2×1×5=360(2、1、5任意兩個數均為互質)。
對于公約數和公倍數的考查，有些題目能夠直觀的判斷出來，而有些卻不容易。
例1、一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米，要把它截成若干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大。問：這樣的正方形的邊長是多少厘米?
A.153 B.156 C.158 D.159
【思路點撥】
根據題目要用長方形彩紙裁剪正方形，并要求紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大，據此可知，邊長是長方形長和寬的公約數且為最大公約數。
方法一：直接根據選項帶入排除，由于盡可能大，則從選項D開始帶入，符合題干條件，D正確。
方法二：根據長和寬的奇偶性(為奇數)可知，邊長×裁剪個數為奇數，則邊長和個數均為奇數，則排除B、C，同上分析帶入D正確。
例2、甲每4天逛一次超市，乙每7天逛一次，丙每10天逛一次，某天3人在此超市相遇，那么三人下次相遇至少需要經過多少天?
A.28 B.40 C.70 D.140
【思路點撥】
要求三人下次相遇至少需要經過多少天，可知要想三人相遇，經過的天數必須是4、7、10的公倍數(甲每4天去一次，則8天去兩次，依次類推，可知甲去超市經過的天數為4的倍數，同理得到乙、丙的結論，又因為三者同時去，則應為三者的公倍數)，則要求經過的最少天數即為最小公倍數為140，則D正確。
【總結】
1、 公約數、公倍數題目首先須根據題干條件分析所求解數據與已知數據之間滿足相應的整除條件(或約數與倍數的關系)。
2、 根據題干關系，判斷求解數據或計算中需要的數值為最大公約數還是最小公倍數。
3、 確定題目所求答案。
點擊分享此信息：
