行測(cè)指點(diǎn)：相同元素要分堆 巧用隔板來拆招
在行測(cè)考試中，排列組合屬于比較常見的題型，其考查難度也讓很多考生望而生畏。但其中的一些特殊題型，只要掌握好方法就能夠輕松應(yīng)對(duì)。比如相同元素進(jìn)行分堆的題型，具有特殊的解題模型，我們稱之為隔板模型。
一、什么是隔板模型
隔板模型的本質(zhì)是討論相同元素不同分堆的情況數(shù)。把n個(gè)相同元素分給m個(gè)不同的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)元素，問有多少種不同分法。
二、隔板模型的條件
這類問題模型適用前提相當(dāng)嚴(yán)格，必須同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：
①所要分的元素必須完全相同;
②所要分的元素必須分完，不允許有剩余;
③每個(gè)對(duì)象至少分到1個(gè)。
例1.有12個(gè)相同的籃球，分給5個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)，有多少種分配方案?
A.350 B.340 C.330 D.360
【答案】C。解析：由題干信息可知，①12個(gè)籃球完全相同;②籃球要全部分給5個(gè)班級(jí)，沒有剩余;③每個(gè)班級(jí)至少一個(gè);因此該題目符合隔板模型的所有條件，即可以將本題視作求12個(gè)相同的元素分成5堆，每堆至少一個(gè)的情況數(shù)。可以考慮將12個(gè)相同元素一字排開。想要將元素分成5堆，分析可知需要4個(gè)隔板。而對(duì)應(yīng)能夠放置隔板的位置，只有元素之間的空隙，如下圖所示：
因此可以放置隔板的位置一共有11個(gè)。所以只需在11個(gè)位置中任選4個(gè)放置隔板即可。且位置一旦選定，交換隔板順序不會(huì)對(duì)結(jié)果造成影響，所以情況數(shù)為
，選C。
三、隔板模型的解題原則與公式
由上題可以總結(jié)得出，把n個(gè)相同元素分給m個(gè)不同的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少1個(gè)元素，這類問題可以看作用隔板把n個(gè)相同元素分成m堆，每堆至少1個(gè)元素。則分成m堆就需要m-1個(gè)隔板，而可以放置隔板的位置只有n個(gè)元素的兩兩之間，即n-1個(gè)位置。所以情況數(shù)為
種。
例2.把20臺(tái)相同的電腦分給8個(gè)部門，每個(gè)部門至少2臺(tái)，問共有幾種分法?
A.165 B.330 C.792 D.1485
【答案】B。解析：由題干信息可知，①20臺(tái)電腦完全相同;②電腦要全部分給8個(gè)部門，沒有剩余;③每個(gè)部門至少2臺(tái);觀察可得此題不滿足隔板模型的第3個(gè)條件，但是仍可以利用隔板模型的解題技巧，只是需要先通過轉(zhuǎn)換使之滿足。即先給每個(gè)部門分1臺(tái)，此時(shí)還剩下12臺(tái)，這12臺(tái)要分給8個(gè)部門且每個(gè)部門必須滿足至少分到1臺(tái)，利用公式，有
種分法。
以上就是我們利用隔板模型解決相同元素分堆的原則與技巧，希望大家能夠?qū)W會(huì)并合理運(yùn)用，輕松的解決這類問題并把握住分?jǐn)?shù)，取得一個(gè)好成績(jī)！
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